रोले का प्रमेयः यदि `f : [a, b] →R` अंतराल `[a, b]` में संतत तथा अंतराल `(a, b)` में अवकलनीय हो, तथा `f(a) = f (b)` हो तो `(a, b)` में एक ऐसे `c` का अस्तित्व है जिसके लिए `f'(c) = 0`.

तब फलन `f(x)=x^(2)` के लिए अंतराल [-1, 1] में रोले प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

Explanation

यहाँ `f(x)=x^(2), a=-1, b=1`.
(i) चूँकि `f (x)=x^(2)` एक बहुपद फलन है इसलिए `f (x)` संवृत अंतराल [-1, 1] में संतत है।
(ii) `f'(x)=2x` विवृत्त अंतराल (-1, 1) में परिभाषित है इसलिए `f (x)` विवृत अंतराल (-1, 1) में अवकलनीय है।
(iii) `f(-1)=(-1)^(2)=1, f(1)=(1)^(2)=1`
`:। f(-1)=f(1)`
अतः फलन `f (x)` रोले प्रमेय के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है।
`:. f'(c)=0`
`implies 2c=0," "[ :' f'(x)=2 x]`
`implies (c) =0 in (-1, 1)`
अतः रोले प्रमेय सत्यापित होता है।