रोले का प्रमेयः यदि `f : [a, b] →R` अंतराल `[a, b]` में संतत तथा अंतराल `(a, b)` में अवकलनीय हो, तथा `f(a) = f (b)` हो तो `(a, b)` में एक ऐसे `c` का अस्तित्व है जिसके लिए `f'(c) = 0`.

तब क्या फलन `f(x)=2x^(3)+x^(2)-4x-2` निम्न अंतराल `[-sqrt(2),sqrt(2) ]` मे रोले प्रमेय को संतुष्ट करती हैं

Explanation

चूँकि बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत और अवकलनीय होता है इसलिए `f (x)` प्रत्येक अंतराल में संतत और अवकलनीय है।
अब `f(x)=0`
`implies 2x^(3)+x^(2)-4x-2=0`
`implies x^(2)(2x+1)-2(2x+1)=0`
`implies (x^(2)-2)(2x+1)=0`
`implies x^(2)=2, 2x+1=0`
`implies x= pm sqrt(2), x=-1/2`
`implies x=-sqrt(2), sqrt(2), (-1)/2`
चूँकि बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत और अवकलनीय होता है इसलिए `f (x)` प्रत्येक अंतराल में संतत और अवकलनीय है।
अब अंतराल `[-sqrt(2), sqrt(2)]` लेते हैं।
(i) फलन `f (x)` संवृत अंतराल `[-sqrt(2), sqrt(2)]` में संतत है।
(ii) `f '(x)=6x^(2)+2x -4` का अस्तित्व विवृत अंतराल `[-sqrt(2), sqrt(2)]` में हैं इसलिए `f (x)` विवृत अंतराल `[-sqrt(2), sqrt(2)]` में अवकलनीय है।
(iii) `f (-sqrt(2))=f (sqrt(2))=0`
अतः `f (x)` रोले प्रमेय के सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है।
`:. f'(c)=0`
`implies 6c^(2)+2c-4=0," "[ :' f'(x)=6x^(2)+2x-4]`
`:. c=(-2 pm sqrt(2^(2)-4xx6xx(-4)))/(2xx6)`
`c=-2 pm sqrt(4+96)`
`implies c=(-2 pm 10)/12`
`implies c=(-2-10)/12, (-2+10)/12`
`implies c=-1, 2/3 in (-sqrt(2), sqrt(2))`.
अतः रोले प्रमेय सत्यापित होता है|