अंतराल [-2, 2] में फलन `f(x)=sqrt(4-x^(2))` के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

Explanation

यहाँ `f(x)=sqrt(4-x^(2)), a=-2, b=2`
(i) चूँकि `f (x)=sqrt (4 -x^(2))` सभी `x in [-2, 2]` के लिए परिभाषित है इसलिए `f (x), [-2, 2]` में संतत फलन है।
(ii) `f'(x)=(-2x)/(2sqrt(4-x^(2)))=(-x)/sqrt(4-x^(2))` का अस्तित्व `x in (-2, 2)` में हैं इसलिए `f (x)` अंतराल `(-2, 2)` में अवकलनीय हैं।
(iii) `f(-2)=sqrt(4-(-2)^(2))=0`
`f(2)=sqrt(4-(2)^(2))=0`
`:. f(-2)=f(2)`
अतः `f (x)` रोले प्रमेय के सभी प्रतिबंधों का पालन करता है।
`:. f'(c)=0`
`implies (-c)/sqrt(4-c^(2))=0," "[ :' f'(x)=(-x)/sqrt(4-x^(2))]`
`implies c=0 in (-2, 2)`.
अतः रोले प्रमेय सत्यापित होता है।