निम्न फलनों के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन कीजिए-
(a) `f(x)= sin x+cos x, x in [0, pi/2]`
(b) `f(x) =sin^(2)x, 0 le x le pi`.

Explanation

(a) यहाँ `f(x)=sinx +cos x, a =0, b=pi/2`
(i) चूँकि `sinx` और `cos x` सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत होता है तथा दो संतत फलनों का योगफल संतत होता है इसलिए `f(x), [0, pi/2]` में संतत है।
(ii) `f'(x)=cos x-sin x` का अस्तित्व विवृत अंतराल `(0, pi/2)` में है इसलिए `f (x), (0, pi/2)` में अवकलनीय है।
(iii) `f(0)=sin 0+cos 0=0+1=1`
`f(pi/2)="sin"pi/2+"cos"pi/2=1+0=1`
`:. f(0)=f(pi/2)`
अतः `f (x)` रोले प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है।
`:. f'(c)=0`
`implies cos c-sin c=0, [ :' f'(x)=cos x-sin x]`
`implies sin c = cos c`
`implies (sin c)/(cos c)=1`
`implies tan c=1`
`implies c=tan^(-1) (1)=pi/4`
`implies c=pi/4 in (0, pi/2)`
(b) यहाँ `f(x)=sin^(2)x, a=0, b=pi`
(i) चूँकि `sinx`सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत होता है तथा दो संतत का गुणनफल संतत होता है इसलिए `f(x)=sin x.sin x=sin^(2)x` अंतराल `[0, pi]`, में संतत है।
(ii) `f'(x)=2 sin x cos x=sin 2x` का अस्तित्व `(0, pi)` में है इसलिए `f (x),(0, pi)` में अवकलनीय है।
(iii) `f(0)=sin^(2) 0=0`
`f(pi)=sin^(2) pi=0`
`:. f(0)=f(pi)`
अतः `f (x)` रोले प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है।
`:. f'(c)=0`
`implies sin 2c=0`
`implies 2c=pi`
`implies c=pi/2 in (0, pi)`
अतः रोले प्रमेय सत्यापित होता है।