अंतराल `[pi/4, (5pi)/4]` में फलन `f(x)=e^(x) (sin x-cos x)` के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

Explanation

यहाँ `f(x)=e^(x) (sin x- cos x), a=pi/4, b=(5pi)/4`
(i) चूँकि `e^(x), sin x` और `cos x` सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए संतत होता है इसलिए `f(x), [pi/4, (5pi)/4]` में संतत है।
(ii) `f'(x)=e^(x)(cos x+sin x)+e^(x)(sin x-cos x)`
`implies f'(x)=2e^(x) sinx`, का अस्तित्व `(pi/4, (5pi)/4)` में हैं
इसलिए
`f(x), (pi/4, (5pi)/4)` में अवकलनीय हैं।
(iii) `f(pi/4)=e^(pi//4)("sin"pi/4-(5pi)/4)`
`=e^(pi//4)(1/sqrt(2)-1/sqrt(2))=0`
`f((5pi)/4)=e^(5pi//4)("sin" (5pi)/4-"cos"(5pi)/4)`
`=e^(5pi//4)[-"sin" pi/4+"cos"pi/4]=0`
`:. f(pi/4)=f((5pi)/4)`
अतः `f (x)` रोले प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है।
`:. f'(c)=0`
`implies 2e^(e) sin c=0`
`implies sin c=0" "[ :' e^(c) ne 0]`
`implies c=pi in (pi/4, (5pi)/4)`.
अतः रोले प्रमेय सत्यापित होता है।