अन्तराल [a, b] में फलन `f(x)=log {(x^(2)+ab)/(x(a+b))}, 0 lt a lt b` के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

Explanation

(i) `f(x)=log {(x^(2)+ab)/(x(a+b))}`
`=log (x^(2)+ab)-log x-log (a+b)`
चूँकि यहाँ पर फलन `f (x)`, तीन संतत फलनों का योग है। इसलिए `f (x), [a, b]` में संतत है।
(ii) `f'(x)=(2x)/(x^(2)+ab)-1/x` अस्तित्व सभी `x in (a, b)` के लिए है जहाँ `0 lt a lt b`
अतः `f (x), (a, b)` में अवकलनीय हैं।
(iii) `f(a)=log [(a^(2)+ab)/(a(a+b))]=log 1=0`
`f(b)=log [(b^(2)+ab)/(b(a+b))]=log 1=0`
`:. f(a)=f(b)`
अतः `f (x)` के लिए रोले प्रमेय के सभी प्रतिबंध संतुष्ट होते हैं।
`:. f'(c)=0`
`implies (2c)/(c^(2)+ab)-1/c=0`
`implies (2c^(2)-c^(2)-ab)/(c(c^(2)+ab))=0`
`implies c^(2)-ab=0`
`implies c=sqrt(ab) in (a, b)`
अतः रोले प्रमेय सत्यापित होता है।