रोले का प्रमेयः यदि `f : [a, b] →R` अंतराल `[a, b]` में संतत तथा अंतराल `(a, b)` में अवकलनीय हो, तथा `f(a) = f (b)` हो तो `(a, b)` में एक ऐसे `c` का अस्तित्व है जिसके लिए `f'(c) = 0`.
यदि अंतराल `[1, 3]` पर फलन `f(x)=x^(3)+bx^(2)+ax+5, c=2+1/sqrt(3)` के लिए रोले प्रमेय सत्यापित हो, तो `a` और `b` का मान ज्ञात कीजिए।

Options

A. `a=11 , b= -6`
B. `a= -11 , b= -6`
C. `a=11 , b= 6`
D. `a= -11 , b= 6`

Answer

A

Explanation

यहाँ `f (x)=x^(3)+bx^(2)+ax+5`
चूँकि `f (x)` के लिए [1, 3] में रोले प्रमेय सत्य है।
`:. f(1)=f(3)`
`implies 1+b+a+5=27+9b+3a+5`
`implies 2a+8b=-26`
`implies a+4b=-13` ...(1)
और `f'(c)=0, c in (1, 3)`
`implies f'(2+1/sqrt(3))=0`, ...(2)
`[ :' c=2+1/sqrt(3)]`
अब, `f'(x)=3x^(2)+2bx+a`
`implies f'(2+1/sqrt(3))=3(2+1/sqrt(3))^(2)+2b(2+1/sqrt(3))+a`
`implies 3(4+1/3+4/sqrt(3))+4b+(2b)/sqrt(3)+a=0` [समी० (2) से,]
`implies 12+1+12/sqrt(3)+4b+(2b)/sqrt(3)+a=0`
`implies 1/sqrt(3) (12+2b)+a+4b+13 =0`
`implies 1/sqrt(3)(12+2b)+0=0`, [समी० (1) से,]
`implies 12+2b=0`
`implies b=-6`
समी० (1) से,
`a+4xx(-6)=-13`
`implies a=-13+24=11`.
अतः `a =11` और `b =-6`