अंतराल [0, 1] में लैग्रांज मध्यमान प्रमेय का सत्यापन `f(x)=x^(3)-2x^(2)-x+3` के लिए कीजिए।

Explanation

(i) फलन `f (x), [0, 1]` में संतत है।
(ii) `f'(x)=3x^(2)-4 x -1` विवृत अंतराल (0, 1) में परिभाषित है इसलिए `f (x), (0, 1)` में अवकलनीय हैं।
(iii) `f (0)=3, f(1)=1`
अतः `f (x)` मध्यमान प्रमेय के दोनों प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है।
`:. (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)`
`implies (f(1)-f(0))/(1-0)=3c^(2)-4c-1`
`implies (1-3)/1=3c^(2)-4c-1`
`implies 3c^(2)-4c-1=-2`
`implies 3c^(2)-4c+1=0`
`implies c=(4 pm sqrt(16-4xx3xx1))/(2xx3)`
`implies c=(4 pm 2)/6=1, 1/3`
`implies c=1/3 in (0, 1)`.
अतः लैग्रांज का मध्यमान प्रमेय सत्यापित होता है।