अंतराल [1, 3] में फलन `f(x)=x+1/x` के लिए मध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

Explanation

`f(x)=x+1/x=(x^(2)+1)/x, x in [1, 3]`
(i) चूँकि `f (x), x ne 0` सहित एक परिमेय फलन है और प्रत्येक परिमेय फलन संतत होता है, इसलिए `f (x), [1, 3]` में संतत फलन है।
(ii) `f '(x)=1 -1/x^(2)` विवृत अंतराल (1, 3) में परिभाषित है इसलिए `f (x), (1, 3)` में अवकलनीय है।
(iii) `f (1)=2, f (3)=10/3`
अतः मध्यमान प्रमेय के दोनों प्रतिबंध संतुष्ट होते हैं।
`:. (f(b)-f(a))/(b-a) =f'(c)`
`implies (f(3)-f(1))/(3-1) =1-1/c^(2)`
`implies (10/3-2)/(2)=1-1/c^(2)`
`implies 1-1/c^(2)=2/3`
`implies 1/c^(2)=(1-2)/3=1/3`
`implies c^(2)=3`
`implies c=sqrt(3)=1.732 in (1, 3)`.
अतः लैग्रांज का मध्यमान प्रमेय सत्यापित होता है।