फलन `f(x)=log x` का अंतराल [1, e] में मध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

Explanation

`f(x)=log x, x in [1, e], x gt 0`
`a=1, b=e`
(i) चूँकि `f (x)=log x , x gt 0` एक संतत फलन होता है इसलिए `f (x), [1,e]` में संतत फलन है।
(ii) `f '(x)=1/x`, विवृत अंतराल (1, e) में परिभाषित है इसलिए `f (x), (1,e)` में अवकलनीय है।
(iii) `f (1)=log 1 =0 , f (e)=log e =1`
अतः मध्यमान प्रमेय की दोनों शर्त संतुष्ट होती हैं।
`:. (f(e)-f(1))/(e-1)=f'(c)`
`implies (1-0)/(e-1)=1/c`
`implies c=e-1 in (1, e)`.
अतः मध्यमान प्रमेय सत्यापित होता है।