अन्तराल [1, 2] में फलन `f(x)=log_(e) x` के लिए मध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

Explanation

(i) `f(x)=log_(e) x` अंतराल [1, 2] में संतत फलन है।
(ii) `f'(x)=1/x` विवृत अंतराल (1, 2) में परिभाषित है इसलिए `f(x), (1, 2)` में अवकलनीय है।
(iii) `f(1)=log_(e)1=0, f(2)=log_(e)2`
अतः फलन `f (x)` मध्यमान प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है।
`:. (f(2)-f(1))/(2-1)=f'(c)`
`implies (log_(e)2-0)/1=1/c`
`implies 1/c=log_(e) 2`
`implies c=1/(log_(e) 2)=log_(2)e, [ :' log_(b)a=1/(log_(a) b)]`
अब, `2 lt e lt 4 implies log_(2) 2 lt log_(2) e lt log_(2) 4`
`implies 1 lt log_(2) e lt 2`
`:. c=log_(2) e in (1, 2)`.
अतः लैग्रांज का मध्यमान प्रमेय सत्यापित होता है।