अंतराल `[-pi, pi]` में फलन `f(x)=x - 2 sin x` के लिए मध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

Explanation

यहाँ `f (x)=x -2sinx ,a =-pi , b=pi`
(i) चूँकि x और `sinx` सदैव संतत होता है इसलिए `f (x)=x -2 sinx` अंतराल `(-pi, pi)` में संतत है।
(ii) `f'(x)=1-2 cos x` का अस्तित्व सभी `x in (-pi, pi)` में है इसलिए `f(x), (-pi, pi)` में अवकलनीय हैं।
(iii) `f(-pi)=-pi-2 sin (-pi)=-pi+2 sin pi =-pi+0=-pi`
`f(pi)=pi-2 sin pi =pi-0=pi`
अतः मध्यमान प्रमेय के दोनों प्रतिबंध संतुष्ट होते हैं।
`:. (f(pi)-f(-pi))/(pi-(-pi))=f'(c)`
`implies (pi-(-pi))/(pi-(-pi))=1-2 cos c`
`implies 1=1-2 cos c`
`implies 2 cos c=0`
`implies cos c=0`
`implies c=pi/2 in ((-pi)/2, pi/2)`.
अतः लैग्रांज का मध्यमान प्रमेय सत्यापित होता है।