किसी निश्चित आधार `b` के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ `3` सेमी/सेकण्ड की दर से घट रही है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ ही आधार के बराबर है उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रही है?

Explanation

माना `ABC` एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ `AB` और `AC` बराबर है।
दिया है: `BC=b`, माना `AB=AC=x` सेमी।
तब `(dx)/(dt)=3` मी./सेकण्ड

`ADbotBC`, खींचा तब `BD=DC=(b)/(2)`.
`DeltaABD` में,
`AB^(2)=AD^(2)+BD^(2)`
`impliesx^(2)=AD^(2)+((b)(2))^(2)`
`AD^(2)=x^(2)-(b^(2))/(4)`
`impliesAD=sqrt(X^(2)-(b^(2))/(4))`
`impliesAD=(sqrt(4x^(2)-b^(2)))/(2)`
माना `S`,`DeltaABC` का क्षेत्रफल है, तो
`S=(1)/(2)xxआधार xxऊंचाई`
`impliesS=(1)/(2)xxBC=AD`
`impliesS=(1)/(2)*b*(sqrt(4x^(2)-b^(2)))/(2)`
`impliesS=(b)/(4)sqrt(4x^(2)-b^(2))`
`:.(dS)/(dt)=(b)/(4)xx(1)/(2sqrt(4x^(2)-b^(2)))xx8x xx(dx)/(dt)`
`implies(dS)/(dt)=(bx)/(sqrt(4x^(2)-b^(2)))xx3`. [समी. `(1)` से ]
`implies(dS)/(dt)=(3bx)/(sqrt(4x^(2)-b^(2)))`
`x=b` पर,`(dS)/(dt)=(3b^(2))/(sqrt(4b^(2)-b^(2)))`
`implies(dS)/(dt)=(3b^(2))/(sqrt(3b))=sqrt(3)b"सेमी"^(2)//"सेकण्ड"`
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल `sqrt(3)b"सेमी"^(2)//"सेकण्ड"` की दर से घट रहा है।