वक्र `y=x^(3)` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के (i ) y -निर्देशांक, (ii ) x -निर्देशांक के बराबर है .

Explanation

यहाँ `y=x^(3) " "...(1)`
`implies(dy)/(dx) =3x^(2)`
`therefore` स्पर्श रेखा की प्रवणता `=(dy)/(dx) =3x^(2).`
माना `(x ,y )` वक्र (1 ) पर कोई बिन्दु है.
(i) स्पर्श रेखा की प्रवणता = बिन्दु का y -निर्देशांक
`implies (dy)/(dx) =y`
`implies 3x^(2) =y`
`implies 3x^(2) =x^(3)," "(because y=x ^(3))`
`impliesx^(2) (3-x) =0`
`impliesx^(2) =0` या `3-x=0`
`implies x=0` या `x=3`
अब समी (1 ) में `x =0 ` और `x =3 ` रखने पर, `y =0 ` और `y =3 ^(3 ) =27 `
अतः अभीष्ट बिन्दु `(0 ,0 )` और `(3 ,27 )` है .
(ii) स्पर्श रेखा की प्रवणता = बिन्दु का x -निर्देशांक
`implies(dy)/(dx) =x`
`implies 3x^(2) =x`
`implies3x^(2) -x=0`
`implies x (3x -1) =0`
`implies x=0, x=1/3`
अब समी ` x=0` और `x=1/3` रखने पर `y =0 ` और `y= ((1)/(3))^(3) =(1)/(27).`
अतः अभीष्ट बिन्दु `(0,0)` और `((1)/(3), (1)/(27))` है .