वक्र `y=cos (x+y), -2pi le x le 2pi` की स्पर्श रेखाओ के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा `x +2y = 0 ` के समांतर है.

Options

A. `4y -2x + 3pi =0` और `4y +x - pi =0.`
B. `4y +2x + 3pi =0` और `4y +2x - pi =0.`
C. `4y +x + 3pi =0` और `4y -2x - pi =0.`
D. `4y +2x + pi =0` और `4y +2x - pi =0.`

Answer

B

Explanation

यहाँ `y =cos (x+y)" "...(1)`
`implies (dy)/(dx) =-sin (x+y). (d)/(dx) (x+y)`
`implies(dy)/(dx) =-sin (x+y). (1+ (dy)/(dx))`
`implies(dy)/(dx) =-sin (x+y) -sin (x+y) (dy)/(dx)`
`implies[1+sin (x+y) ](dy)/(dx) =-sin (x+y)`
`implies (dy)/(dx) =-(sin (x+y))/([1+ llsin (x+y)])`
`therefore` स्पर्श रेखा की प्रवणता `=-(sin (x+y))/([1+ sin (x+y)])`
दी गई रेखा है-
`x+2y=0`
`impliesy= -1/2 x`
`therefore` सरल रेखा की प्रवणता `=-1/2`
चूँकि स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समांतर है.
`therefore (-sin (x+y))/([1+ sin (x+y)])=-1/2`
`implies2 sin (x+y) =1+sin (x+y)`
`implies sin (x+1) =1" "...(2)`
समी (1 ) और (2 ) का वर्ग करके जोड़ने पर,
`y^(2)+1 =sin ^(2) (x+y) +cos ^(2) (x+y)`
`implies y^(2)+1 =1` या `y^(2)=0`
समी (1 ) और (2 ) में `y =0 ` रखने पर
`cos x=0` और `sin x=1 impliesx= pi/2, (-3pi)/(2)`
`therefore ` अभीष्ट बिन्दु `((pi)/(2), 0)` और `((-3pi)/(2), 0)` है.
बिन्दु `((pi)/(2),0)` पर स्पर्श रेखा का समीकरण, जिसकी प्रवणता `-1/2` है .
`y-0 =-1/2 (x-(pi)/(2))`
` implies2y -0=-x +(pi)/(2)`
`impliesx+2 y=(pi)/(2)`
`implies 2 +4y-pi=0.`
पुनः बिन्दु `((-3pi)/(2), 0)` पर स्पर्श रेखा का समीकरण, जिसकी प्रवणता `-1 /2 ` है-
`y-0 =-1/2 (x+ (3pi)/(2))`
`implies 2y =-x -(3pi)/(2)`
`implies4y +2x + 3pi =0.`