वक्र `x^(2) =4y` पर उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए, जिन पर अभिलंब बिन्दु `(1,2)` से होकर जाती है.

Options

A. `(2,1)`
B. `(1,2)`
C. `(0,1)`
D. `(3,4)`

Answer

A

Explanation

यहाँ `x^(2)=4y`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2x=4 (dy)/(dx)`
`implies(dy)/(dx) =(2x)/(4)= x/2`
माना वक्र और अभिलम्ब का सम्पर्क बिन्दु `(x_(1), y_(1))` है. `therefore` बिन्दु (h,k) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
`=((dy)/(dx))_("(h,k))=(-2)/(h)`
और बिन्दु (h ,k ) पर अभिलम्ब की प्रवणता
`=(-1)/(((dy)/(dx))_(""(h, k)))=(-2)/(h)`
बिन्दु (h ,k ) पर अभिलम्ब का समीकरण है-
`y-k =(-2)/(h )(x-h)" "...(2)`
यह अभिलम्ब बिन्दु (1 ,2 ) से होकर जाती है .
`therefore 2-k =(-2)/(h) (1-h) `
`implies k =2 +2/h (1-h)" "...(3)`
पुनः बिन्दु (h ,k ) वक्र (1 ) पर स्थित है .
`therefore h^(2)=4k" "...(4)`
समी (3 ) और (4 ) से,
`h^(2)=4[2+(2)/(h)(1-h)]`
`implies h^(2)=8+ 8/h (1-h)`
`impliesh^(2) =8+ 8/h -8`
`impliesh^(2) =8/h`
`impliesh^(3)=8`
`impliesh=2`
समी (4 ) से,
`4k =(2)^(2)impliesk=1`
`therefore` अभीष्ट बिन्दु `(2 ,1 )` है .
अब बिन्दु `(2 ,1 )` पर अभिलम्ब का अभीष्ट समीकरण है-
`y-1 =(-2)/(2) (x-2)` [समी (2 ) में `h =2 ` और `k =1 ` रखने पर ]
`implies y-1 =-(x-2)`
`impliesx+y=3.`