वक्र `y^(2)=4ax ` और `x^(2)=4by` के प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए .

Explanation

दिये गए वक्रो के समीकरण है-
`y^(2)=4ax" "...(1)`
और `x^(2)=4by`
या `y=(x^(2))/(4b)`
समी (1 ) में `y=(x^(2))/(4b)` रखने पर,
`((x^(2))/(4b))^(2)=4ax`
`implies(x^(4))/(16 b^(2))=4ax`
`implies x^(4) =64 ab^(2)x`
`impliesx^(4)-64ab^(2) x=0`
`implies x(x^(3)-64ab^(2))=0`
`implies x=0` या `x^(3) -64 ab^(2) =0`
`impliesx=0` या `x^(3)=64ab^(2)`
`impliesx=0` या `x=4a^(1//3)b^(2//3)`
जब `x =0 ,` तब समी (2 ) से, `y= (16a^(2//3)b ^(4//3))/(4b)=4a ^(2//3)b ^(1//3)`
अतः दोनों वक्र के बिन्दु `(0 ,0 )` और `(4a^(1//3)b ^(2//3)b^(2//3)b^(1//3))` पर प्रतिच्छेद करता है.
समी (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2y (dy)/(dx) =4a implies(dy)/(dx) =(2a)/(y)" "...(3)`
समी (2 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2x =4b (dy)/(dx)implies(dy)/(dx) =(x)/(2b)" "...(4)`
बिन्दु `(0 ,0 )` पर वक्रो का प्रतिच्छेद कोण:
`m_(1)=((dy)/(dx))_(""(0,0))=(2a)/(0)=oo` [समी (3 ) से]
`therefore` वक्र (1 ) की स्पर्श रेखा बिन्दु `(0 ,0 )` पर Y -अक्ष के समांतर है .
`m_(2)=((dy)/(dx))_(""(0,0))=(0)/(2b)=0" "`[ समी (4 ) से
`therefore` वक्र (2 ) की स्पर्श बिन्दु `(0 ,0 )` पर X -अक्ष के समांतर है.
अतः दोनों वक्र बिन्दु `(0 ,0 )` पर एक-दूसरे को समकोण पर प्रतिच्छेद करते है.
बिन्दु `(4a^(1//3)b ^(2//3), 4a ^(2//3)b ^(1//3))` पर वक्रो का प्रतिच्छेद कोण-
`m_(1)` वक्र (1 ) की प्रवणता
`=(2a)/(4a^(2//3)b^(1//3))= (a^(1//3))/(2b ^(1//3)),` [समी , (3 ) से]
`m_(2)=`वक्र (2 ) की प्रवणता
`=(4a^(1//3) b ^(1//3))/(2b)=(2a^(1//3))/(b^(1//3)),` [समी (4 ) से ]
यदि बिन्दु `(4a ^(1//3) b^(2//3) , 4a ^(2//3)b ^(1//3))` पर वक्रो का प्रतिच्छेद कोण `theta ` हो, तो
`tan theta =|(m_(2) -m_(1))/(1+m_(1)m_(2))|`
`impliestan theta =|((2a ^(1//3))/(b^(1//3))-(a^(1//3))/(2b^(1//3)))/(1+((2a^(1//3))/(b^(1//3)))((a^(1//3))/(2b^(1//3))))|`
` impliestan theta =(((4a^(1//3)-a^(1//3))/(2b^(1//3)))/(1+(a^(2//3))/(b^(2//3))))`
`impliestan theta = ((3a^(1//3) )/(2b ^(1//3))xx(b^(2//3))/(a ^(2//3)+b^(2//3)))`
`impliestan theta =(3a^(1//3) b ^(1//3))/(2(a ^(2//3)+b^(2//3)))`
`implies theta =tan ^(-1)((3 (ab)^(1/3))/(2 (a ^(2//3) +b^(2//3)))).`