सिद्ध कीजिए कि वक्रो के कुल `(x^(2)-y^(2))=c (x^(2)+y^(2))^(2)` के लिए अवकल समीकरण `(x^(3)-3xy^(2))dx=(y^(3)-3x^(2)y)dy` है, जहाँ c स्वेच्छ अचर है .

Explanation

यहाँ `(x^(2)-y^(2))=c (x^(2)+y^(2))^(2)" "...(1)`
समी (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2x-2y(dy)/(dx) =2c (x^(2) +y^(2))(2x+2y(dy)/(dx))`
`implies (x-y (dy)/(dx))=2x (x^(2)+y^(2))(x+y(dy)/(dx))...(2)`
समी (1 ) से,
`c=(x^(2)- y^(2))/((x^(2)-y^(2))^(2))`
सेमी (2 ) में c का मान रखने पर,
`(x-y(dy)/(dx))=(2(x^(2)-y^(2)))/((x^(2)+y^(2))^(2))xx(x^(2)+y^(2))(x+y(dy)/(dx))`
`implies (x^(2) +y^(2))(x-y(dy)/(dx))=2 (x^(2)-y^(2))(x+y(dy)/(dx))`
`implies x(x^(2)+y^(2))-y(x^(2)+y^(2)) (dy)/(dx)`
`=2x (x^(2)-y^(2))(x^(2)-y)(dy)/(dx)`
`implies(x^(3)+xy^(2)+2xy^(2))`
`=[2y(x^(2)-y^(2))+y(x^(2)+y^(2))](dy)/(dx)`
` implies(3xy^(2) -x^(3))=(2x^(2)y-2y^(3)+x^(2)+y^(3))(dy)/(dx)`
`implies(3xy^(2) -x^(2))=(3x^(2)y-y^(3))(dy)/(dx)`
`implies(x^(3)-3xy^(2))=(y^(3)y-y^(3))(dy)/(dx)`
`implies(x^(3)-3xy^(2))dx=(y^(3)-3x^(2) y) dy`
यही अभीष्ट अवकल समीकरण ह.