उन सभी वृत्तों के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो मुलबिन्दु से होकर जाते है तथा केन्द्र Y -अक्ष पर स्थित |

Explanation

माना c मुलबिन्दु से जाने वाले तथा X -अक्ष अक्ष को मुलबिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल को निरूपित करता | माना वृत्तों के कुल की त्रिज्या a है तब वृत्त का केन्द्र `(0,a)` होगा. अतः वृत्तों के कुल समीकरण है
`(x-0) ^(2)+ (y-a)^(2) =a^(2)`
`[because (x-h) ^(2)+(y-k) ^(2) =r^(2)]`
`impliesx^(2)+(y-a)^(2) =a^(2)`
` impliesx^(2) +y^(2) -2ay +a^(2) =a^(2)`
`impliesx^(2) +y^(2) -2ay=0" "...(1)`
जहाँ a स्वेच्छ अचर |

समी (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`2x+2y (dy)/(dx)-2a(dy)/(dx) =0`
`impliesx+y(dy)/(dx) -a(dy)/(dx) =0`
`impliesx+y y_(1) -ay_(1)=0,` जहाँ `y_(1) =(dy)/(dx)`
`implies ay_(1)=x+yy_(1)`
`impliesa=(x+yy_(1))/(y_(1))`
समी (1 ) में a का मान रखने पर,
`x^(2)+y^(2)-2y((x+yy_(1))/(y_(1)))=0`
`impliesx^(2)y_(1)+y^(2)y_(1) -2xy-2y^(2)y_(1)=0`
`impliesx^(2)y_(1)-y^(2)y_(1)=2xy`
`implies(x^(2)-y^(2))y_(1)=2xy`
`impliesy_(1)=(2xy)/(x^(2)-y^(2))`
`implies(dy)/(dx)=(2xy)/(x^(2)-y^(2))`
यही अभीष्ट अवकल समीकरण है .