अवकल समीकरण `(1+e^(2x))dy+(1+y^(2))e^(x) dx=0,` का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, यदि `y =1 ` यदि `x =0 ` हो .

Explanation

दिया गया अवकल समीकरण है-
`(1+e^(2x))dy+(1+y^(2))e^(x)dx=0`
`implies(1)/(1+y^(2))dy= (-e^(x))/(1+e^(2x))dx`
`implies(1)/(1+y^(2))dy= (e^(x))/(1+(e^(x))^(2))dx,`
समाकलन करने पर,
`int (dy)/(1+y^(2))=-int (e^(x))/(1+(e^(x))^(2))dx,`
मना `e^(x) =timplies e^(x) dx+ dt`
`therefore int (dy)/(1+y^(2))=-int (dt)/(1+t^(2))`
`impliestna ^(-1)y=-tan ^(-1) t+C`
`implies tan ^(-1)y=-tan ^(-1)(e^(x)) +C,...(1) [because t=e^(x)]`
जो कि व्यापक हल है.
समी (1 ) में `x =0 ,y = 1 ` रखने पर,
`tan ^(-1)1=- tan ^(-1)(e^(0))+C`
`impliestan ^(-1) 1=- tan ^(-1)1+C`
`implies2 tan ^(-1)1=C`
`implies 2 tan ^(-1)(tan ""(pi)/(4))=C`
`implies2xx(pi)/(4) =C`या `C=(pi)/(2)`
समी (1 ) में `C=(pi)/(2)` रखने पर,
`tan ^(-1) y=- tan ^(-1) e^(x)+(pi)/(2)`
`impliesy=tan [(pi)/(2)-tan ^(-1)(e^(x))]`
`implies y=cot [tan ^(-1)(e^(x))],`
`[because tan ((pi)/(2)-theta)=cot theta]`
`impliesy=cot [cot ^(-1) ((1)/(e^(x)))],`
`[because tan ^(-1) x=cot ^(-1)""(1)/(x)]`
`implies y=(1)/(e^(x))`
जो कि विशिष्ट हल है .