हल कीजिए -
` x ^ 2 dy + y ( x + y ) dx = 0 `

Explanation

दिया गया अवतल समीकरण है -
` x ^ 2 dy + y ( x + y ) dx = 0 `
` rArr x ^ 2 dy = - ( xy + y^ 2 ) dx `
` rArr (dy ) / ( dx ) = (( xy + y^ 2 )) / ( x ^ 2 ) " " `....(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है |
माना ` y = vx ` , तब ` (dy ) / ( dx ) = v + x ( dy ) / ( dx ) " " ` ... (2) समी. (1 ) और (2 ) से,
` v + x ( dv ) / (dx ) = - ( ( v x ^ 2 + v ^ 2 x ^ 2 ) ) / ( x ^ 2 ) `
` rArr v + x (dv ) / ( dx ) = - (v + v ^ 2 ) `
` rArr x (dv ) / ( dx ) = - ( v + v ^ 2 ) - v `
` rArr x (dv ) / (dx ) = - ( v ^ 2 + 2v ) `
` rArr ( 1 ) /( v ^ 2 + 2 v ) dv = - (dx ) /( x ) `,
समाकलन करने पर,
` int ( 1 ) / ( v^ 2 + 2v ) dv = - int (dx ) / ( x ) `
` rArr int ( 1 ) /(( v ^ 2 + 2v + 1 ) - 1 ) dv = - int (dx ) / ( x ) `
` rArr int ( 1 )/ (( v ^ 2 + 1 ) ^ 2 - 1 ^ 2 ) dv = - int (dx )/ ( x ) `
` rArr ( 1 ) / ( 2 ) log | ((v + 1 ) - 1 ) /( ( v + 1 )+ 1 ) | = - log |x| + logC _ 1 `
` rArr log | (v ) /(v +2 ) | + 2 log |x| = 2 log C _ 1 `
` rArr log | (v ) /( v + 2 ) | + log x ^ 2 = log C _ 1 ^ 2 `
` rArr log | ( v x ^ 2 ) /( v + 2 ) | = log C `
` rArr | (vx^ 2 ) / ( v + 2 ) | = C `
` rArr | (( y ) / ( x ) * x ^ 2 ) / ( ( y ) / ( x ) + 2 )| = C `
` rArr | ( x ^ 2 y ) / ( y + 2x ) | = C `
समी. (3 ) में ` x = 1 ` और ` y = 1 ` रखने पर,
` C = ( 1 ) / ( 3 ) `
समी (3 ) में ` C = ( 1 ) / ( 3 ) ` रखने पर,
` | ( x^ 2 y ) / ( y + 2x ) | = ( 1 ) / ( 3 ) `
` rArr ( x ^ 2 y ) /( y + 2x ) = pm ( 1 ) / ( 3 ) `
` rArr 3x^ 2 y = y + 2x ` और ` 3x ^ 2 y = - ( y + 2 x ) `
परन्तु ` 3x ^ 2 y = - ( y + 2x ) ` प्रतिबंध ` y ( 1 ) = 1 ` को संतुष्ट नहीं करता है |
अतः ` 3 x^ 2 y = y + 2x rArr y = ( 2x ) /( 3x ^ 2 - 1 ) ` अभीष्ट हल है |