हल कीजिए -
` xdy - yd x = sqrt ( x ^ 2 + y^ 2 ) dx `.

Explanation

दिया गया अवतल समीकरण है -
` xdy - ydx = sqrt ( x^ 2 + y^ 2 ) dx `
` rArr xdy = ( y + sqrt ( x ^ 2 + y^ 2 ) ) dx `
` rArr (dy ) /( dx ) = ( y + sqrt ( x ^ 2 + y^ 2 ))/ ( x ) `
माना ` F ( x, y ) = ( y + sqrt ( x^ 2 + y^ 2 ))/ ( x ) `
अब x को ` lamda x ` और y को ` lamda y ` से प्रतिस्थापित करने पर,
` F ( lamdax, lamda y ) = ( lamda y + sqrt ( lamda ^ 2 x ^ 2 + lamda ^ 2 y^ 2 ))/ ( lamda x ) `
` rArr F ( lamda x , lamda y ) = ( lamda y + lamda sqrt ( x ^ 2 + y ^ 2 ) ) / ( lamda x ) `
` rArr F ( lamda x , lamda y ) = lamda ^ 0 (( y + sqrt ( x ^ 2 +y^ 2))/ ( x )) `
`rArr F ( lamda x, lamda y ) = lamda ^ 0 F ( x , y ) `
अतः फलन ` F ( x , y ) ` शून्य घाट में समघात फलन है | इसलिए यह एक समघात समीकरण है |
माना ` y = vx`, तब ` ( dy )/ (dx ) = v + x (dv ) / ( dx ) `
समी. (1 ) और (2 ) से,
` v + x (dv ) / (dx ) = ( vx + sqrt ( x ^ 2 + v ^ 2 x ^ 2 )) / ( x ) `
` rArr v + x (dv ) / ( dx ) = v + sqrt ( 1 + v ^2 ) `
` rArr x (dv ) / ( dx ) = sqrt ( 1 + v^ 2 ) `
` rArr ( 1 ) / ( sqrt ( 1 + v ^ 2 ) ) dv = (dx ) / ( x) , ` ( चरों को पृथककरण से )
समाकलन करने पर ,
` int (dv ) / ( sqrt ( 1 + v ^ 2 )) = int (dx ) / ( x ) `
` rArr int (dv ) /( sqrt ( v^ 2 +I^2)) = int ( dx ) / ( x ) `
` rArr log | v + sqrt ( 1 + v ^ 2 ) | = log |x| + C , [ int ( 1 ) / ( sqrt ( x ^ 2 + a ^ 2 ) ) = log | x + sqrt ( x ^ 2 + a^ 2 )|] `
` rArr log | ( y ) / ( x ) + sqrt ( 1 + ( y^ 2 ) /( x ^ 2 ) ) | - log |x| = C `
` rArr log | ( y + sqrt ( x^ 2 + y^ 2 ) ) / ( x ) | - log |x| = C `
` rArr log | ( y + sqrt ( x^ 2 + y^ 2 )) / ( x ^ 2 ) | = C `
` rArr ( y + sqrt ( x ^ 2 + y^ 2 ) ) / ( x^ 2 ) = e^C `
` rArr y + sqrt ( x ^ 2 + y^ 2 ) = x ^ 2 * e ^ C `
` rArr y + sqrt ( x ^ 2 + y^ 2 ) = A x ^ 2 ` , जहाँ ` A= e ^C `