दर्शाइये कि अवकल समीकरण `x cos ((y)/x) (dy)/(dx) =y cos ((y)/x)+x` समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए.

Explanation

दिया गया अवकल समीकरण है-
`x cos ((y)/x) (dy)/(dx) =y cos ((y)/(x))+x`
`implies(dy)/(dx) =(y cos ((y)/x) +x)/(x cos ((y)/(x)))" "...(1)`
माना `F(x,y)=(y cos ((y)/x)+x)/(x cos"" (y)/(x))`
x को `lamdax ` और `lamday ` से प्रतिस्थापित करने पर,
`F(lamdax, lamday) =(lamday cos ((lamday)/(lamdax))+lamdax)/(lamda x cos ((lamday)/(lamdax)))`
`impliesF (lamdax, lamday) =(lamda[y cos ((y)/(x))+x])/(lamda[x cos ((y)/(x))])`
`implies F(lamdax, lamday) =lamda^(0) F(x,y)`
अतः `F(x,y)` एक समघाट फलन है इसलिये यह एक समघाट अवकल समीकरण है.
माना `y=vx,` तब `(dy)/(dx) =v+x(dv)/(dx)" "...(2)`
समी (1 ) और (2 ) से,
`v+x (dv)/(dx)=(vx cos ((vx)/(x))+x)/(x cos ((vx)/(x)))`
`implies v+x (dv)/(dx)=(v cos v+1)/(cos v)`
`impliesx (dv)/(dx)=(v cos v+1)/(cos v)`
`impliesx (dv)/(dx)=(v cos +v)/( cos v)-v`
`implies x (dv)/(dx) =(v cos +1- cos v)/(cos v)`
`implies x (dv)/(dx) =(1)/(cos v)`
दिया गया अवकल समीकरण है-
`x cos ((y)/x) (dy)/(dx) =y cos ((y)/(x))+x`
`implies(dy)/(dx) =(y cos ((y)/x) +x)/(x cos ((y)/(x)))" "...(1)`
माना `F(x,y)=(y cos ((y)/x)+x)/(x cos"" (y)/(x))`
x को `lamdax ` और `lamday ` से प्रतिस्थापित करने पर,
`F(lamdax, lamday) =(lamday cos ((lamday)/(lamdax))+lamdax)/(lamda x cos ((lamday)/(lamdax)))`
`impliesF (lamdax, lamday) =(lamda[y cos ((y)/(x))+x])/(lamda[x cos ((y)/(x))])`
`implies F(lamdax, lamday) =lamda^(0) F(x,y)`
अतः `F(x,y)` एक समघाट फलन है इसलिये यह एक समघाट अवकल समीकरण है.
माना `y=vx,` तब `(dy)/(dx) =v+x(dv)/(dx)" "...(2)`
समी (1 ) और (2 ) से,
`v+x (dv)/(dx)=(vx cos ((vx)/(x))+x)/(x cos ((vx)/(x)))`
`implies v+x (dv)/(dx)=(v cos v+1)/(cos v)`
`impliesx (dv)/(dx)=(v cos v+1)/(cos v)`
`impliesx (dv)/(dx)=(v cos +v)/( cos v)-v`
`implies x (dv)/(dx) =(v cos +1- cos v)/(cos v)`
`implies x (dv)/(dx) =(1)/(cos v)`
`impliescos v dv =(dx)/(x),` (चरो के पृथक्करण से)
समाकलन करने पर,
`int cos v dv = int (dx)/(x)`
`impliessin v=log |x| +C`
`implies sin ((y)/(x)) = log |x| +C.`