अवकल समीकरण `(dy)/(dx) -y=cos x` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए.

Explanation

यहॉँ `(dy)/(dx) -y =cos x ...(1)`
यह y रैखिक अवकल समीकरण है. इसलिए समी (1 ) की तुलना `(dy)/(dx) +Py Q` से करने पर,
`P =-1, Q =cos x.`
`therefore1. F. =e ^(intPdx )= e^(int(-1)dx)= e^(-x)`
अतः अभीष्ट हल है-
`yxx (1. F.) =int Q xx(1.F.)dx +C`
`impliesy.e^(-x)=inte^(-x) . cos x dx +C" "...(2)`
माना `I =intunderset(II)(e^(-x))underset(I)(cos x)dx`
`impliesI =cos x int e^(-x)dx-int{(d)/(dx)(cos x).int e^(-x)dx}dx`
`implies I =cos x(-e^(-x))-int (-sin x)(-e^(-x))dx`
`implies=-cos xe^(-x) -int underset(II)(e^(-x)) underset(I)sin x dx`
`impliesI=- cos xe ^(-x)`
`-[sin x(-e^(-x))-int cos x (-e^(-x))dx]`
`impliesI =-cos xe ^(-x) -[-sin xe ^(-x)+int e^(-x) cos x dx]`
`impliesI=-cos xe ^(-x)+ sin xe ^(-x) -int e^(-x) cos x dx`
`impliesI =-e^(-x) cos +e ^(-x) sin x -I`
`implies 2I =(sin x-cos x)^(e-x)`
`impliesI((sin x-cos x)e^(-x))/(2)" "...(3)`
समी (2 ) और (3 ) से,
`y.e ^(-x) =((sin x - cos x) e^(-x))/(2)+C`
`impliesy=((sin x-cos x))/(2)+Ce^(x).`