अवकल समीकरण `(dy)/(dx) +2y tan x = sin x,` का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए जबकि `y=0` यदि `x=(pi)/(3).`

Explanation

दिया हुआ अवकल समीकरण है-
`(dy)/(dx)+2y tan x=sin x`
`implies(dy)/(dx) +(2 tan x)y =sin x " "...(1)`
यह y में रैखिक अवकल समीकरण है .
समी (1 ) की तुलना `(dy)/(dx)+ P y=Q` से करने पर `P =2 tan x` और `Q=sin x`
`thereforeI.F. =e^(intPdx)=e ^(int 2 tan x dx )`
`=e^(2 int tan x dx )`
`=e^(2 log |sec x|)`
`=e^(log sec ^(2)x )= sec ^(2) x`
अतः अभीष्ट व्यापक हल है-
`yxx (I. F.) =int Q xx(I. F.) dx+C`
`implies y sec ^(2) x=int sin x. sec ^(2) x dx +C`
`implies y sec ^(2) x = int sin x. (1)/(cos ^(2)x)dx +C`
`impliesy sec ^(2) x = int tan x. sec x dx +C`
`implies y sec ^(2) x = sec x +C" "...(2)`
समी (2 ) में `x=pi/3` और `y=0` रखने पर,
`0 = sec "'(pi)/(3)+C implies0=2 +C implies C=-2.`
समी (2 ) में, `C=-2` रखने पर,
`y sec ^(2) x= sec x-2.`