हल कीजिए-
`(1+y^(2))dx =(tan ^(-1) y-x )dy, y(0) =0.`

Explanation

दिया हुआ अवकल समीकरण है-
`(1+y^(2))dx= (tan ^(-1)y-x) dy`
`implies(dx)/(dy) =(tan ^(-1)y-x)/(1+y^(2))`
`implies(dy)/(dx)=(tan ^(-1)y)/(1+y^(2))-(x)/(1+y^(2))`
`implies (dx)/(dy) +(1)/(1+y^(2))x=(tan ^(-1)y)/(1+y^(2))" "...(1)`
यह x में रैखिक अवकल समीकरण है.
समी (1 ) की तुलना `(dx)/(dy) +Px=Q` से करने पर ,
`P=(1)/(1+y^(2))` और `Q=(tan ^(-1))/(1+y^(2))`
`therefore I. F. =e ^(intPdy )=e ^(int(1)/(I+y^(2))dy)=e^(tan ^(-1)y)`
अतः अभीष्ट व्यापक हल है-
`x xx (I. F. ) = int (Q xx I. F. )dy +C`

`implies xe ^(tan ^(-1)y)=int ((tan ^(-1)y)/(1+y^(2))xx e ^(tan ^(-1)y))dy+C`
`implies xe ^(tan ^(-1)y) =intunderset(I)(t) underset(II)(e^(t)) dt +C,`
`["माना" tan ^(-1)y=t implies(1)/(1+y^(2))dy=dt]`
`impliesxe ^(tan^(-1)y) =te^(t) -e^(t)+C`
`impliesxe ^(tan ^(-1)y) =tan ^(-1)ye^(tan ^(-1)y)-e^(tan ^(-1)y)+C" "...(2)`
समी (2 ) से, `x =0 ` और `y =0 ` रखने पर,
`0=0-e^(0)+Cimplies C=1.`
समी (2 ) `C=1` रखने पर,
`xe ^(tan ^(-1)y) =tan ^(-1y)-e ^(tan ^(-1)y)+1`
`implies(x-tan ^(-1)y+1)e^(tan^(-1)y)=1.`