मुलबिन्दु ` (0 ,2 )` से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए . यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशाकों का योग, उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है.

Explanation

वक्र के बिन्दु `(x ,y )` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता `(dy )/(dx )` होती है .
`(dy)/(dx)+5 =x+y`
`implies(dy)/(dx) -y =x-5" "...(1)`
जो कि y में रैखिक अवकल समीकरण है.
समी (1 ) की तुलना `(dy)/(dx) +Py=Q` से करने पर `P=-1 ` और `Q=x-5.`
`therefore I. F. =e ^(intPdx)= e^(int(-1)dx)=e^(-x)`
अतः अभीष्ट व्यापक हल है-
`y.e ^(-x)int (x underset(I)(-)5). underset(II)(e^(-x))dx+C`
`impliesy.e^(-x)=(x-5). (-e^(-x))-int1.(-e^(-x))dx+C`
`implies y.e ^(-x)=(5-x). (-e ^(-x))-int 1. (-e ^(-x))dx+C`
`implies y= (5 -x-1) +Ce^(x)`
`impliesy=(4-x)+ Ce^(x)" "...(2)`
चूँकि वक्र बिन्दु `(0 ,2 )` से जाती है इसलिए समी (2 ) में `x =0 ` और `y =2 ` रखने पर,
`2=4 +Ce^(0) implies4+ C=2 impliesC=-2.`
समी (2 ) में, `C =-2 ` रखने पर,
`y=(4-x)-2e^(x).`