किसी L-C परिपथ में 20 mH का एक प्रेरक तथा `50muF` का एक संधारित्र है जिस पर प्रारम्भिक आवेश 10 mC है। परिपथ का प्रतिरोध नगण्य है। मान लीजिए कि वह क्षण जिस पर परिपथ बंद किया जाता है t =0
(a) प्रारम्भ में कुल कितनी ऊर्जा संचित है? क्या यह LC दोलनों की अवधि में संरक्षित है ?
(b) परिपथ की मूल आवृत्ति क्या है ?
(C) किस समय पर संचित ऊर्जा ?
(i) पूरी तरह से वैधुत है (अर्थात वह संधारित्र में संचित है )?
(ii) पूरी तरह से चुम्बकीय है (अर्थात प्रेरक में संचित है) ?
(d) किन समयों पर सम्पूर्ण ऊर्जा प्रेरक एवं संधारित्र के मध्य समान रूप में विभाजित है ?
(e) यदि एक प्रतिरोध को परिपथ में लगाया जाए तो कितनी ऊर्जा अंततः ऊष्मा के रूप में क्षयित होगी ?

Explanation

दिया है- `L=20mH=20xx10^(-1)H,`
`C=50muF=50xx10^(-6)F`
संधारित्र पर आवेश `q_(0)=10mC=10xx10^(-3)C`
(a) संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा
`=(q_(0)^(2))/(2C)=((10^(-2))^(2))/(2xx50xx10^(-6))=1J`
`:'L-C` परिपथ का प्रतिरोध नगण्य है अतः L-C दोलनों की कुल ऊर्जा संरक्षित रहेगी।
(b) वास्तविक आवृत्ति या मूल आवृत्ति
`v=(1)/(2pisqrt(LC))`
`v=(1)/(2xx3.14xxsqrt(20xx10^(-3)xx50xx10^(-6)))`
`=(1)/(6.28xx10^(-3))=159Hz`
(c) LC दोलनों के समय संधारित्र की प्लेटों पर आवेश
`q=q_(0)cosomegat=q_(0)cos""(2pit)/(T)`
(i) यदि `q=pmq_(0)` अतः संचित ऊर्जा पूर्णतः विद्युत ऊर्जा होगी
`:.cos""(2pit)/(T)=pm1`
या `(2pit)/(T)=npi` जहाँ n=1,2....
या `t=(nT)/(2)`
या `t=0,(T)/(2),T,(3T)/(2),.........`
(ii) संचित ऊर्जा पूर्णंत: चुम्बकीय होगी यदि
`q=q_(0)cos""(2pit)/(T)=0`
या `(2pit)/(T)=(2n+1)(pi)/(2)`
या `t=(2n+1)(pi)/(4)`
या `t=(T)/(4).,(3T)/(4),(5T)/(4).........`
दोनों स्थितियों में
`T=(1)/(v)=(1)/(159)S=6.28xx10^(-3)S`
T=6.28ms.
(d) कुल ऊर्जा `=(1)/(2)(q_(0)^(2))/(C)`
माना किसी समय में संधारित्र की प्लेटों पर आवेश q हो तब संधारित्र की कुल ऊर्जा की आधी होगी।
`:.` संधारित्र की ऊर्जा `=(1)/(2)(q^(2))/(C)`
`:.(1)/(2)(q^(2))/(C)=(1)/(2)[(1)/(2)(q_(0)^(2))/(C)]`
या `q=pm(q_(0))/(sqrt(2))`
`:'q=q_(0)cosomegat=q_(0)cos""(2pit)/(T)`
`:.pm(q_(0)^(2))/(sqrt(2))=q_(0)cos""(2pit)/(T)`
या `cos""(2pit)/(T)=pm(1)/(sqrt(2))`
या `cos""(2pit)/(T)=cos""(pi)/(4)" या "cos""(3pi)/(4)`
या `(2pit)/(T)=npi+(pi)/(4)" या "npi+(3pi)/(4)`
या `t=(4n+1)(T)/(8)" या "(4n+3)(T)/(8)`
`:.t=(T)/(8),(3T)/(8),(5T)/(8),(7T)/(8)..........`
(e) प्रतिरोध R के कारण कुल प्रारंभिक ऊर्जा 1 J उष्मीय ऊर्जा के रूप में क्षय हो जायेगी तथा L-C दोलन अवमंदित होंगे।