यदि `A=[{:(2,3),(1,-4):}]" और "B=[{:(1,-2),(-1,3):}]` तो सत्यापित कीजिएः की `A B^(-1)=I_(2) "या "A B^(-1)=I`

Explanation

यहाँ `A=[{:(,2,3),(,1,-4):}],B=[{:(1,-2),(-1,3):}]`
`therefore |A|=|{:(,2,3),(,1,-4):}|=-8-3=-11 ne 0`
`Rightarrow A^(-1)` का अस्तित्व है
माना A में `a_(y)` का सहखंडन `A_(IJ)` है, तब
`A_11=(-1)^(1+1) (-4)=-4`
`A_12=(-1)^(1+2) (1)=-1`
`A_21=(-1)^(2+1) (3)=-3`
`A_22=(-1)^(2+2) (2)=-2`
`therefore "adj A"=[{:(,4,-1),(,-3,2):}]=[{:(,-4,-1),(,-1,2):}]`
`therefore A^(-1) =("adj A")/(|A|)=-(1)/(11)[{:(,-4,-1),(,-1,2):}]`
सही ही `|B|=|{:(,1,-2),(,-1,3):}|=3-2=1`
`Rightarrow B^(-1)` का अस्तित्व है
माना B में `b_(ij)` का सहखण्ड `B_(ij)` है तब
`B_11=(-1)^(1+1)3=3`
`B_(12)=(-1)^(1+2)(-1)=1`
`B_(21)=(-1)^(2+1)(-2)=2`
`B_(22)=(-1)^(2+2)1=1`
`therefore "adj B"=[{:(3,1),(2,1):}]=[{:(,3,2),(,1,1):}]`
`therefore B^(-1)=1/1[{:(3,1),(1,1):}]=[{:(,3,2),(,1,1):}]`
अब `B^(-1) A^(-1)=therefore B^(-1)A^(-1)=1/1[{:(3,2),(1,1):}]xx((-1)/(11)) [{:(,-4,-3),(,-1,2):}]`
`=-(1)/(11) [{:(,-12-2,9+4),(,-4-1,-3+2):}]`
`=-(1)/(11) [{:(,-14,-5),(,-5,-1):}]`
`=1/11[{:(,14,5),(,5,1):}]` .....(1)
हम जानते है `|AB|=|A||B|=(-11)xx1=-11 ne 0`
`Rightarrow (AB)^(-1)` का अस्तित्व है
और `"adj (AB)"=[{:(,3,2),(,1,1):}][{:(,-4,-3),(,-1,2):}]`
`"adj (AB)"=[{:(,-14,-5),(,-5,-1):}]`
`therefore (AB)^(-1)=("adj (AB)")/(|AB|)=-1/(11)[{:(,-14,-5),(,-5,-1):}]`
`Rightarrow (AB)^(-1)=1/(11) [{:(,14,5),(,5,1):}]` ....(2)
समी (1) और (2) से `(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)` यही सिद्ध करना था