`A=[{:(,1,1,1),(,1,omega,omega^(2)),(,1,omega^(2),omega):}]`
`therefore |A|=|A|=[{:(,1,1,1),(,1,omega,omega^(2)),(,1,omega^(2),omega):}]`
`=|{:(,1+1+1,1,1),(,1+omega+omega^(2),omega,omega^(2)),(,1+omega^(2)+omega,omega^(2),omega):}|`
`[C_(1) to C_(1)+C_(2)+C_(3)"द्वारा "]`
`=|{:(,3,1,1),(,0,omega,omega^(2)),(,0,omega^(2),omega):}|`
`=3xx |{:(,omega,omega^2),(,omega^(2),omega):}|[C_(1)"के अनुदिश प्रसार करने पर"]`
`=3(omega^(2)-omega^(4))`
`=3(omega^(2)-omega^(2)omega)`
`=3(omega^(2)-omega)=3omega(omega-1)`
`Rightarrow |A| ne 0`
`Rightarrow A^(-1)` का अस्तित्व है
माना A में अवयव `a_(ij)` के सहखण्ड `A_(ij)` है, तब
`A_11=(-1)^(1+1)|{:(omega,omega^(2)),(omega^(2),omega):}|` `=omega^(2)-omega^(4)=omega^(2)-omega^(3), omega=omega^(2)-omega=omega(omega-1)`
`A_12=(-1)^(1+2)|{:(1,omega^(2)),(1,omega):}|` `=-(omega-omega^(2))=omega^(2)-omega=omega(omega-1)`
`A_13=(-1)^(1+3)|{:(1,1),(omega^(2),omega):}|`
`=-(omega-omega^(2))=omega^(2)-omega=omega(omega-1)`
`A_21=(-1)^(2+1)|{:(,1,1),(,omega^(2),omega):}|` `=-(omega-omega^(2))=omega^(2)-omega=(omega-1)`
`A_22=(-1)^(2+2)|{:(,1,1),(,1,omega):}|` `=-(omega-omega^(2))=omega^(2)-omega=(omega-1)`
`A_23=(-1)^(2+3)|{:(,1,1),(,omega^(2),omega):}|` `=-(omega^(2)-1)=1-omega^(2)=omega^(3)-omega^(2)=omega^(2)(omega-1)`
`A_31=(-1)^(3+1)|{:(,1,1),(,omega,omega^(2)):}|=omega^(2)-omega=omega(w-1)`
`A_32=(-1)^(3+2)|{:(,1,1),(,1,omega^(2)):}|`
`=-(omega^(2)-1)=1-omega^(2)=omega^(3)-omega^(2)=omega^(2)(omega-1)`
`A_(32)=(-1)^(3+2)|{:(,1,1),(,1,omega^(2)):}|`
`=-(omega^(2)-1)=1-omega^(2)=omega^(3)-omega^(2)=omega^(2)(omega-1)`
`A_33=(-1)^(3+3)|{:(,1,1),(,1,omega):}|=omega-1`
`therefore "adj A"=[{:(,omega(omega-1),omega(omega-1),omega(omega-1)),(,omega(omega-1),omega-1,omega^(2)(omega-1)),(,omega(omega-1),omega^(2)(omega-1),(omega-1)):}]`
अंत: `A^(-1)=("adj A")/(|A|)`
`=(1)/(3omega(omega-1))[{:(,omega(omega-1),omega(omega-1),omega(omega-1)),(,omega(omega-1),omega-1,omega^2(omega-1)),(,omega(omega-1),omega^(2)(omega-1),(omega-1)):}]`
अंत: `A^(-1)=("adj A)/|A|`
`=(1)/(3omega(omega-1))[{:(,omega(omega-1),omega(omega-1),omega(omega-1)),(,omega(omega-1),omega-1,omega^(2)(omega-1)),(,omega(omega-1),omega^(2)(omega-1),(omega-1)):}]`
`=1/3[{:(,1,1,1),(,1,1/omega,omega),(,1,omega,1/omega):}]`
`=1/3[{:(,1,1,1),(,1,(omega^(2))/(omega),omega),(,1,omega,(omega^(3))/(omega)):}]`
`=A^(-1)=1/3[{:(,1,1,1),(,1,omega^(2),omega),(,1,omega,omega^(2)):}]`
यही सिद्ध करना था
