आव्यूह `A=[{:(,1,1,1),(,1,2,-3),(,2,-1,3):}]` के लिए दर्शाइए की `A^(3)-6A^(2)+5A+11I=0` तथा इसकी सहायता से `A^(-1)` ज्ञात कीजिएः

Explanation

यहाँ `A=[{:(,1,1,1),(,1,2,-3),(,2,-1,3):}]`
`therefore A^(2)=A.A=[{:(,1,1,1),(,1,2,-3),(,2,-1,3):}] [{:(,1,1,1),(,1,2,-3),(,2,-1,3):}]`
`Rightarrow A^(2)=[{:(,4,2,1),(,-3,8,-14),(,7,-3,14):}]`
और `Rightarrow A^(3)=A^(2).A=[{:(,4,2,1),(,-3,8,-14),(,7,-3,14):}] [{:(,1,1,1),(,1,2,-3),(,2,-1,3):}]`
`=[{:(,8,7,1),(,23,27,-69),(,32,-13,58):}]`
अब `A^(3)-6A^(2)+5A+11l [{:(,8,7,1),(,-23,27,69),(,32,-13,58):}]-6 [{:(,4,2,1),(,-3,8,-14),(,7,-3,14):}] +5[{:(,1,1,1),(,1,2,-3),(,2,-1,3):}]+11 [{:(,1,0,0),(,0,1,0),(,0,0,1):}]`
`=[{:(,8-24+5+11,7-12+5+0,1-6+5+0),(,-23+18+5+0,27-48+10+11,-69+84-15+0),(,32-42+10+0,-13+18-5+0,58-84+15+11):}]`
`=[{:(,0,0,0),(,0,0,0),(,0,0,0):}]=0`
`Rightarrow A^(3)-6A^(2)+5A+11l=0` यही सिद्ध करना था
दोनों पक्षों में `A^(-1)` का पूर्ण गुणन करने पर,
`A^(-1)A^(3)-6A^(-1)A^(2)+5A^(-1)A+11A^(-1)I=0`
`Rightarrow A^(2)-6A+5I+11A^(-1)=0`
`Rightarrow 11A^(-1)=-A^(2)+6A-5I`
`Rightarrow 11A^(-1)=-[{:(,4,2,1),(,-3,8,-14),(,7,-3,14):}] +6[{:(,1,1,1),(,1,2,-3),(,2,-1,3):}]-5[{:(,1,0,0),(,0,1,0),(,0,0,1):}] `
`Rightarrow 11A^(-1)=[{:(,-4+6+5,-2+6+0,-1+6-0),(,3+6+0,-8+12-5,14-18-0),(,-7+12-0,3-6+0,-14+18-5):}]`
`Rightarrow 11A^(-1)=[{:(,-3,4,5),(,9,-1,-4),(,5,-3,-1):}]`
`Rightarrow A^(-1)=(1)/(11) [{:(,-3,4,5),(,9,-1,-4),(,5,-3,-1):}]=[{:(,(-3)/(11),(4)/(11),(5)/(11)),(,(9)/(11),(-1)/(11),(-4)/(11)),(,(5)/(11),(-3)/(11),(-1)/(11)):}]`