इन समीकरण निकाय का सांगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिएः
`x+y+z=1`
`2x+3y+z=2`
`ax+ay+2az=4.`

Explanation

दिया गया समीकरण निकाय है
`x+y+z=1`
`2x+3y+2z=2`
इस निकाय का आव्यूह रूप है `AX=B.`
जहाँ `A=[{:(1,1,1),(2,3,2),(a,a,2a):}],X =[{:(x),(y),(z):}],B=[{:(1),(2),(4):}]`
अब `|A| = |{:(1,1,1),(2,3,2),(a,a,2a):}|,`
`=|{:(1,0,0),(2,1,0),(a,0,a):}|,`
`[C_(2) rarr C_(2), C_(3)rarr C_(3)-C_(1)"द्वारा"]`
`=1xx|{:(1,0),(0,a):}|,[R_(1)"के अनुदिश प्रसार करने पर "]`
`=a.`
यहाँ दो स्थिति होगी
स्थिति I. यदि `a ne 0` तब `|A| ne 0` इसलिए समीकरण निकाय संगत है और अद्वितीय हल रखता है
स्थिति II यदि a=0 तब |A|=0 इसलिए समीकरण निकाय संगत या असंगत हो सकता है
यहाँ `adj A =[{:(4a,,-2a,,-a),(-a,,a,,0),(-1,,0,,1):}]^(,)=[{:(4a,-a,-1),(-2a,a,a),(-a,0,a):}]`
`Rightarrow(adj A) B =[{:(4a,-a,-1),(-2a,a,0),(-a,0,1):}][{:(,1),(,2),(,4):}]`
`=[{:(4a-2a-4),(-2a+2a+0),(-a+0+4):}]=[{:(2a-4),(" "0),(4-a):}]`
`=[{:(-4),(0),(4):}]!=0," "[:'a=0]`
अंत: इस स्थिति में समीकरण निकाय संगत है