दर्शाइये की फलन
`f(x)={(x^(2)sin((1)/(x))",",x ne 0),(0",", x=0):}`
बिंदु x = 0 पर अवकलनीय है।

Explanation

यहाँ `f(0)=0`
`R f'(0)=lim_(h to 0) (f(0+h)-f(0))/(h)`
`=lim_(h to 0) (f(h)-f(0))/(h)`
`=lim_(h to 0) =(h^(2)sin((1)/(h))-0)/(h)`
`=lim_(h to 0) (h^(2)sin((1)/(h)))/(h)`
`=lim_(h to 0) h sin((1)/(h))`
`=lim_(h to 0) h xx lim_(h to 0) sin ((1)/(h))`
`=0xx` (-1 और 1 के मध्य स्थित एक संख्या )
`=0`.
और `L f'(0) = lim_(h to 0) =(f(0-h)-f(0))/(-h)`
`=lim_(h to 0)(f(-h)-f(0))/(-h)`
`=lim_(h to 0) ((-h)^(2) sin (-(1)/(h))-0)/(-h)`
`=lim_(h to 0) (-h^(2)sin((1)/(h)))/(-h)`
`=lim_( h to 0) h sin ((1)/(h))`
`=0xx `(-1 और 1 के मध्य स्थित एक संख्या )
`=0.`
`therefore R f'(0)=L f'(0)`
अतः f(x) बिंदु x = 0 पर अवकलनीय है। यही सिद्ध करना था।