दर्शाइये की फलन `f(x)=।x-3।, AA x in R` बिंदु x = 3 पर संतत है परन्तु अवकलनीय नहीं है।

Explanation

यहाँ `f(x)=।x-3।`
`x=3` पर सांतत्यता :
(i) `f(3)=।3-3।=0`
(ii) `R.H.L.= lim_(x to 3^(+)) f(x)=lim_(h to 0) f(3+h)`, [ `x=3+h` रखने पर]
`=lim_(h to 0) ।(3+h)-3।`
`=lim_(h to 0)।h।`
`=।0।=0`
(iii) `L.H.L.=lim_(x to 3^(-)) f(x)=lim_(h to 0) f(3-h)`, [`x=3-h` रखने पर]
`=lim_(h to 0) ।(3-h)-3।`
`=lim_(h to 0)।-h।`
`=।0।=0`
`therefore f'(3)=R.H.L=L.H.L=0`
अतः f बिंदु x = 0 पर संतत है। यही सिद्ध करना था।
x = 3 पर अवकलनीयता :
`R f'(3)=lim_(h to 0)=(f(3+h)-f(3))/(h)`
`=lim_(h to 0) (।(3+h)-3।-0)/(h)`
`=lim_(h to 0) (।h।)/(h)`
`=lim_(h to 0) (h)/(h)=1 " " [because ।x। = x]`
और `L f'(3)=lim_(h to 0) (f(3-h)-f(3))/(-h)`
`=lim_(h to 0) (।(3-h)-3।-0)/(-h)`
`=lim_(h to 0) (।-h।)/(-h)`
`=lim_(h to 0) (h)/(-h)=-1, " " [because ।-x।=x]`
`therefore R f'(3) ne L f'(3).`
अतः f बिंदु x = 3 पर अवकलनीय नहीं है। यही सिद्ध करना था।