दर्शाइये की फलन `f(x)=।x-1।+।x+1।, AA x in R ` बिंदुओं x = -1 और x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।

Options

A. `x = -1` और `x = 1` पर अवकलनीय नहीं है
B. `x = -1` और `x = 1` पर अवकलनीय है
C. `x = -1` पर अवकलनीय नहीं है और `x = 1` पर अवकलनीय है
D. `x = -1` पर अवकलनीय है और `x = 1` पर अवकलनीय नहीं है

Answer

A

Explanation

यहाँ `f(x)=|x-1|+|x+1|, AA x in R`
`therefore f(x)={(-(x+1)-(x-1)",",x lt -1),((x+1)-(x-1)",", -1le x lt 1),((x+1)+(x-1)",",x ge 1):}`
`={(-2x",",x lt -1),(2",", -1 le x lt 1),(2x",",x ge 1):}`
x = -1 पर अवकलनीयता :
`f(-1)=2`
`R f'(-1)=lim_(h to 0) (f(-1+h)-f(-1))/(h)`
`=lim_(h to 0) (2-2)/(h),[because x =-1+h gt -1]`
`=lim_(h to 0) (0)/(h)`
`=0`
`=L f'(-1)=lim_(h to 0) (f(-1-h)-f(-1))/(-h)`
`=lim_(h to0) (-2 (-1 -h)-2)/(-h) " " [ because x = -1 - h lt -1]`
`=lim_(h to 0) (2+2h-2)/(-h)`
`=lim_(h to 0) (2h)/(-h)=-2`
`therefore R f'(-1) ne L f'(-1)`
अतः f बिंदु x = -1 पर अवकलनीय नहीं है। यदि सिद्ध करना था।

x = 1 पर अवकलनीयता :
`f(1)=2xx1=2`
`R f'(1)=lim_(h to 0) = (f(1+h)-f(1))/(h)`
`=lim_(h to 0) (2(1+h)-2)/(h)`
`=lim_(h to 0) (2h)/(h)=2`
`L f'(1) = lim_(h to 0) (f(1-h)-f(1))/(-h)`
`=lim_(h to 0) (2-2)/(-h)`
`=lim_(h to 0) (0)/(-h)=0`
`therefore R f'(1) ne L f'(1)`.
अतः f बिंदु x = 1 पर अवकलनीय नहीं है। यही सिद्ध करना था।