इन समाकलनो का मान ज्ञात कीजिये
`int_(0)^(oo) (1)/((x^(2)+a^(2))(x^3+b^(2)))dx`

Explanation

यहाँ `underset(0)overset(oo)int (1)/((x^(2)+a^(2))(x^3+b^(2)))dx`
चुकी x की दो घाटे सैम है इसलिए `x^(2)=y` रखने पर,
`(1)/((x^(2)+a^(2))(x^(2)+b^(2)))=(1)/((y+a^(2))(y+b^(2)))`
`=A/(y+a^(2))+(B)/(y+b^2)`
`Rightarrow 1=A(y+b^(2))+B(y+a^(2))`
`y=a^(2)=0 Rightarrow y=-a^(2)` रखने पर
`A=(1)/(b^(2)-a^(2))`
`y+b^(2)=0 rArr y=-b^(2)` रखने पर
`B=(1)/(a^(2)-b^(2))`
`therefore (1)/((x^(2)+a^(2))(x^(2)+b^2))`
`=1/((y+a^(2))(y+b^(2)))`
`=1/((b^(2)-a^(2))(y+a^(2)))+1/((a^(2)-b^(2))(y+b^2))`
`rArr (1)/((x^(2)+a^(2))(x^(2)+b^(2)))=(1)/((a^(2)-b^(2)))[1/(x^(2)+b^(2))-1/(x^(2)+a^2)] [therefore y=x^(2)]`
`rArr underset(0)overset(oo)int (1)/((x^2+a^(2))(x^(2)+b^(2)))dx`
`=1/(a^(2)-b^(2))underset(0)overset(oo)int [1/(x^(2)+b^(2))-1/(x^(2)-a^(2))]dx`
`=1/(a^(2)-b^(2))[1/btan^(-1)""x/b-1/atan""^(-1)""x/a]_(0)^(oo)`
`=1/(a^(2)-b^(2))[{1/btan^(-1)""(oo)-1/atan^(-1)""(oo)-{1/btan^(-1)""0-1/atan^(-1)0}]`
`=1/(a^(2)-b^(2))[{1/bxxpi/2-1/axxpi/2}-{0,0}]`
`=1/(a^(2)-b^(2))[(pi)/(2b)-(pi)/(2a)]`
`=(pi(a-b))/(2ab(a^(2)-b^(2)))=(pi)/(2ab(b+a))`