वृत्त `x^(2)+y^(2)=16`, X-अक्ष और दो कोटियों x = 1 और x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिया गया वृत्त है-
`x^(2)+y^(2)=16" ... (1)"`
यहाँ वृत्त का केन्द्र (0, 0) और त्रिज्या 4 इकाई है।
साथ ही x = 1 और x= 3 दोनों सरल रेखाएँ Y-अक्ष के समांतर है।

चूँकि `x^(2)+y^(2)=16impliesy^(2)=16-x^(2)`
`implies y=pmsqrt(16-x^(2))`
छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थाश में स्थित है।
`therefore y=sqrt(16-x^(2))`
छायांकित क्षेत्र में समाकलन की सीमाएँ x = 1 से x = 3 है।
`therefore` अभीष्ट क्षेत्र
`=int_(1)^(3)ydx=int_(1)^(3)sqrt(16-x^(2))dx`
`=int_(1)^(3)sqrt(4^(2)-x^(2))dx`
`=[(xsqrt(4^(2)-x^(2)))/(2)+(4^(2))/(2)sin^(-1).(x)/(4)]_(1)^(3)`
`=[(xsqrt(16-x^(2)))/(2)+8sin^(-1).(x)/(4)]_(1)^(3)`
`=[((3sqrt(7))/(2)+8sin^(-1).(3)/(4))-((sqrt(15))/(2)+8sin^(-1).(1)/(4))]`
`=(1)/(2)(3sqrt(7)-sqrt(15))+8(sin^(-1).(3)/(4)-sin^(-1).(1)/(4))`.