समाकलन के प्रयोग से a इकाई त्रिज्या के वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer

NCERT

Explanation

दिया गया वृत्त है-
`x^(2)+y^(2)=a^(2)" ... (1)"`

`implies y^(2)=a^(2)-x^(2)`
`implies y=pmsqrt(a^(2)-x^(2))`
चूँकि वृत्त (1), X-अक्ष और कोटियों x = 0, x = a से परिबद्ध है। अर्थात प्रथम चतुर्थाश।
`therefore y=sqrt(a^(2)-x^(2))`
चूँकि वृत्त X-अक्ष और Y-अक्ष दोनों के परितः सममित है।
`therefore` अभीष्ट क्षेत्र
`=4xx` प्रथम चतुर्थाश में छायांकित क्षेत्र OAB का क्षेत्रफल
`=4int_(0)^(a)ydx`
`=4int_(0)^(a)sqrt(a^(2)-x^(2))dx`
`=4[(xsqrt(a^(2)-x^(2)))/(2)+(a^(2))/(2)sin^(-1).(x)/(a)]_(0)^(a)`
`=4[0+(a^(2))/(2)sin^(-1)1-0-0]`
`=4xx(a^(2))/(2)xx(pi)/(2)=pia^(2)` वर्ग इकाई।