दीर्घवृत्त `(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Options

A. `piab`
B. `pi`
C. `pia`
D. `pib`

Explanation

दीर्घवृत्त का समीकरण है-
`(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1`
`implies (y^(2))/(b^(2))=1-(x^(2))/(a^(2))`
`implies y=pm(b)/(a)sqrt(a^(2)-x^(2))`
`implies y=(b)/(a)sqrt(a^(2)-x^(2))`, [`because` छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।]

छायांकित क्षेत्र में समाकलन की सीमाएँ x = 0 से x = a है। चूँकि दीर्घवृत्त X-अक्ष एवं Y-अक्ष दोनों के परितः सममित है।
`therefore` अभीष्ट क्षेत्रफल = `4xx` (दीर्घवृत्त, X-अक्ष एवं कोटियों x = 0, x = a द्वारा प्रथम चतुर्थाश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल)
=`4xx` छायांकित क्षेत्र OABO का क्षेत्रफल
`=4xxint_(0)^(a)ydx`
`=4xxint_(0)^(a)(b)/(a)sqrt(a^(2)-x^(2))dx`
`=(4b)/(a)[(xsqrt(a^(2)-x^(2)))/(2)+(a^(2))/(2)sin^(-1).(x)/(a)]_(0)^(a)`
`=(4b)/(a)[0+(a^(2))/(2)sin^(-1)1-0-0]`
`=(4b)/(a)xx(a^(2))/(2)xx(pi)/(2)=piab` वर्ग इकाई।