समाकलन विधि का प्रयोग करते हुए वक्र `|x|+|y|=1` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Options

A. `0`
B. `1`
C. `2`
D. `3`

Answer

C

Explanation

दिया गया वक्र है-
`|x|+|y|=1`
यह समीकरण निम्नलिखित चार सरल रेखाओं को निरूपित करता है-
प्रथम चतुर्थाश में : जब `xge0,yge0`
`|x|+|y|=1impliesx+y=1" ... (1)"`
द्वितीय चतुर्थाश में : जब `xlt0,yge0`
`|x|+|y|=1implies-x+y=1" ... (2)"`
तृतीय चतुर्थाश में : जब `xlt0,ylt0`
`|x|+|y|=1implies-x-y=1" ... (3)"`
चतुर्थ चतुर्थाश में : जब `xge0,ylt0`
`|x|+|y|=1impliesx-y=1" ... (4)"`
अतः वक्र `|x|+|y|=1` द्वारा निरूपित चार रेखाएँ एक वर्ग ABCD को निर्मित करते है।

`therefore` अभीष्ट क्षेत्रफल = वर्ग ABCD का क्षेत्रफल
`=4xx` प्रथम चतुर्थाश में `DeltaOAB` का क्षेत्रफल
`=4xxint_(0)^(1)ydx`
`=4int_(0)^(1)(1-x)dx, [becausex+y=1impliesy=1-x]`
`=4[x-(x^(2))/(2)]_(0)^(1)`
`=4[(1-(1)/(2))-0\]`
`=4xx(1)/(2)=2` वर्ग इकाई।