समाकलन विधि का उपयोग करते हुये एक ऐसे त्रिभुज `ABC` का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्षो के निर्देशांक `A(2,0), B(4,5)` और `C(6,3)` है।

Options

A. `3`
B. `4`
C. `5`
D. `7`

Answer

D

Explanation

`DeltaABC` के शीर्षो के निर्देशांक A(2,0), B(4,5) और C(6,3) है। इन बिन्दुओं को अलेखित करने पर अभीष्ट त्रिभुजाकार क्षेत्र निम्न है-

हम जानते है, कि दो बिन्दुओं `(x_(1), y_(1))` और `(x_(2), y_(2))` से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण है-
`y-y_(1)=(y_(2)-y_(1))/(x_(2)-x_(1))(x-x_(1))`
यदि त्रिभुज ABC तीन रेखाओं AB, BC और CA से निर्मित है।
`DeltaABC` की भुजा AB का समीकरण,
`y-0=(5-0)/(4-2)(x-2)`
`implies y=(5)/(2)(x-2)`
`DeltaABC` की भुजा BC का समीकरण,
`y-5=(3-5)/(6-4)(x-4)`
`implies y=9-x`
`DeltaABC` की भुजा AC का समीकरण,
`y-3=(0-3)/(2-6)(x-6)`
`implies y=(3)/(4)(x-2)`
`therefore` त्रिभुजाकार क्षेत्र ABC का क्षेत्रफल
`=DeltaABP` का क्षेत्रफल + समलंब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल `-DeltAQC` का क्षेत्रफल
`=int_(2)^(4)y_(AB)dx+int_(6)^(4)y_(BC)dx-int_(2)^(6)y_(AC)dx`
`=int_(2)^(4)(5)/(2)(x-2)dx+int_(6)^(4)(9-x)dx-int_(2)^(6)(3)/(4)(x-2)dx`
`=(5)/(2)int_(2)^(4)(x-2)dx+int_(6)^(4)(9-x)dx-(3)/(4)int_(2)^(6)(x-2)dx`
`=(5)/(2)[(x^(2))/(2)-2x]_(2)^(4)+[9x-(x^(2))/(2)]_(4)^(6)-(3)/(4)[(x^(2))/(2)-2x]_(2)^(6)`
`=(5)/(2)[0-(-2)]+(36-28)-(3)/(4)[6-(-2)]`
`=(5+8-6)=7` वर्ग इकाई।