दीर्घवृत्त `(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1` एवं कोटियों x = 0 और x = ae, से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ `b^(2)=a^(2)(1-e^(2))` एवं `elt0`.

Explanation

क्षेत्रफल BOB'RFSB का अभीष्ट क्षेत्रफल दीर्घवृत्त एवं रेखाओं x = 0 व x = ae से घिरा है।

`(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1impliesy=pm(b)/(a)sqrt(a^(2)-x^(2))`
`impliesy=(b)/(a)sqrt(a^(2)-x^(2))`, [`because` छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थाश में है]
`therefore` क्षेत्र BOB'RFSB का क्षेत्रफल
`=2int_(0)^(ae)ydx`, [`because` छायांकित क्षेत्र X-अक्ष के सापेक्ष सममित है]
`=2int_(0)^(ae)(b)/(a)sqrt(a^(2)-x^(2))dx`
`=(2b)/(a)int_(0)^(ae)sqrt(a^(2)-x^(2))dx`
`=(2b)/(a)[(x)/(2)sqrt(a^(2)-x^(2))+(a^(2))/(2)sin^(-1).(x)/(a)]_(0)^(ae)`
`=(2b)/(2a)[aesqrt(a^(2)-a^(2)e^(2))+a^(2)sin^(-1)e]`
`=(b)/(a)[a^(2)esqrt(1-e^(2))+a^(2)sin^(-1)e]`
`=ab[esqrt(1-e^(2))+sin^(-1)e]`.