प्रथम चर्तुर्थाश में वृत्त `x^(2)+y^(2)=32` रेखा y = x एवं X-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिये हुए समीकरण है-
`y = x " … (1)"`
और `x^(2)+y^(2)=32`
या `x^(2)+y^(2)=(4sqrt(2))^(2)" ... (2)"`
समी. (1) एक सरल रेखा को निरूपित करता है जो मूलबिन्दु से गुजरती है तथा X-अक्ष से `45^(@)` का कोण बनती है।
समी. (2) एक वृत्त को निरूपित करता है जिसका केन्द्र (0, 0) और त्रिज्या `4sqrt(2)` है।
समी. (1) और (2) को हल करने पर,
`x^(2)+x^(2)=32` [y = x रखने पर]
`implies 2x^(2)=32`
`implies x^(2)=16`
`implies x=4` [`because` प्रथम चतुर्थाश में `xgt0` है।]
समी. (1) से, y = 4.
अतः समी. (1) और समी. (2) के प्रतिच्छेद बिन्दु B(4, 4) है जो कि प्रथम चतुर्थाश में है। X-अक्ष पर BM लम्ब खींचिए।

`therefore` अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OBAO का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OBMO का क्षेत्रफल + क्षेत्र BMAB का क्षेत्रफल
`=int_(0)^(4)ydx` (रेखा के लिए) `+int_(4)^(4sqrt(2))ydx` (वृत्त के लिए)
`=int_(0)^(4)xdx+int_(4)^(4sqrt(2))sqrt(32-x^(2))dx, [because x^(2)+y^(2)=32impliesy=sqrt(32-x^(2))]`
`=[(x^(2))/(2)]_(0)^(4)+int_(4)^(4sqrt(2))sqrt((4sqrt(2))^(2)-x^(2))dx`
`=8+[(xsqrt(32-x^(2)))/(2)+(32)/(2)sin^(-1).(x)/(4sqrt(2))]_(4)^(4sqrt(2)), [becauseintsqrt(a^(2)-x^(2))dx=(xsqrt(a^(2)-x^(2)))/(2)+(a^(2))/(2)sin^(-1).(x)/(a)]`
`=8+[((4sqrt(2)xx0)/(2)+16sin^(-1)1)-((4xx4)/(2)+16sin^(-1)((1)/(sqrt(2))))]`
`=8+16xx(pi)/(2)-8-16xx(pi)/(4)=8+8pi-8-4pi`
`=4pi` वर्ग इकाई।