परवलय `y^(2)=4ax` और रेखा y = mx के बीच क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिया गया है-
`y^(2)=4ax" ... (1)"`
यह एक परवलय को निरूपित करता है जिसका शीर्ष मूलबिंदु और अक्ष धनात्मक X-अक्ष है। और `y=mx" ... (2)"`
यह एक सरल रेखा को निरूपित करता है जिसकी प्रवन्नता तथा मूलबिंदु से होकर जाती है।
समी. (1) और समी. (2) से,
`m^(2)x^(2)=4ax`
`implies x(m^(2)x-4a)=0`
`implies x=0,m^(2)x-4a=0`
`implies x=0,x=(4a)/(m^(2))`
समी. (2) से,
जब x = 0, तब y = 0
जब `x=(4a)/(m^(2))`, तब `y=mxx(4a)/(m^(2))=(4a)/(m)`.
अतः परवलय (1) और रेखा (2) एक-दूसरे को बिन्दु O(0, 0) और `A((4a)/(m^(2)),(4a)/(m))` पर प्रतिच्छेद करते है। अभीष्ट क्षेत्रफल चित्र में छायांकित किया गया है-

`therefore` अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OABO का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OBAMO का क्षेत्रफल - क्षेत्र OAMO का क्षेत्रफल
`=int_(0)^(4a//m^(2))ydx` (परवलय) `-int_(0)^(4a//m^(2))ydx` (रेखा)
`=int_(0)^(4a//m^(2))sqrt(4ax)dx-int_(0)^(4a//m^(2))mxdx`
`=2sqrt(a)[(2)/(3)x^(3//2)]_(0)^(4a//m^(2))-m[(x^(2))/(2)]_(0)^(4a//m^(2))`
`=(4)/(3)sqrt(a)(4a)/(m^(2)).sqrt((4a)/(m^(2)))-(m)/(2)((4a)/(m^(2)))^(2)`
`=(32)/(3)((a^(2))/(m^(3)))-(8a^(2))/(m^(3))=(8a^(2))/(3m^(3))` वर्ग इकाई।