वक्र `x^(2)=4y` और रेखा x = 4y - 2 के अन्तर्गत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

यहाँ `x^(2)=4y" … (1)"`
और `x=4y-2" … (2)"`
या `x-4y=-2` या `(x)/(-2)+(y)/((1//2))=1`
समी. (1) एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 0) और अक्ष Y-अक्ष की धनात्मक दिशा है।
समी. (2) एक सरल रेखा है जो कि X-अक्ष को बिन्दु (-2, 0) और Y-अक्ष को बिन्दु `(0,(1)/(2))`. पर प्रतिच्छेद करता है।
समी. (1) और (2) को हल करने पर,
`(4y-2)^(2)=4y`
`implies 16y^(2)-16y+4=4y`
`implies 16y^(2)-20y+4=0`
`implies 4y^(2)-5y+1=0`
`implies (4y-1)(y-1)=0`
`implies y=(1)/(4),y=1`
समी. (2) से,
`y=(1)/(4)`, के लिए `x=4xx(1)/(4)-2=-1`
`y = 1`, के लिए `x=4xx1-2=2`.
अतः परवलय (1) और रेखा के प्रतिच्छेद बिन्दु `(-1,(1)/(4))` और (2, 1) है।
अभीष्ट क्षेत्रफल चित्र में छायांकित है। अब `BC_|_OX`' और `AD_|_OX`, खींचिए, तब C और D के निर्देशांक क्रमशः C(-1, 0) और D(2, 0) होंगे।

`therefore` अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र ABOA का क्षेत्रफल
`=int_(-1)^(2)ydx` (रेखा) `-int_(-1)^(2)ydx` (परवलय)
`=int_(-1)^(2)((x+2)/(4))dx-int_(-1)^(2)(x^(2))/(4)dx`
`=(1)/(4)[(x^(2))/(2)+2x]_(-1)^(2)-(1)/(4)[(x^(3))/(3)]_(-1)^(2)`
`=(1)/(4)[(2+4)-((1)/(2)-2)]-(1)/(4)[(8)/(3)+(1)/(3)]`
`=(1)/(4)xx(15)/(2)-(3)/(4)=(9)/(8)` वर्ग इकाई।