यदि `sin x + sin y = a` और ` cos x +cosy` ,तो ` tan ^(2) ((x+y)/2)+tan^(2) ((x-y)/2)` किसके बराबर है ?

Options

A. ` (a^(4)+b^(4)+4b^(2))/(a^(2)b^(2)+b^(4))`
B. ` (a^(4)-b^(4)+4b^(2))/(a^(2)b^(2)+b^(4))`
C. ` (a^(4)-b^(4)+4a^(2))/(a^(2)b^(2)+a^(2))`
D. इनमे से कोई नहीं

Answer

B

Explanation

दिया है ,
` sin x + sin y = a " " ` …(i)
तथा ` cos x + cos y = b " "` . . . (ii)
समी (i ) तथा (ii ) का वर्ग करके जोड़ने पर,
` sin^(2) x + sin^(2) y + 2 sin x sin y + cos^(2)x`
` + cos^(2) y + 2 cos x cosy = a^(2) +b^(2)`
` rArr 1+ 1 +2 (sin x sin y + cos x cos y )`
` = a^(2) +b^(2)`
` rArr 2 + 2 cos ( x-y) = a^(2) + b^(2) `
` rArr cos ( x-y) = (a^(2) +b^(2)-2)/2 " "` . . . (iii)
समी (i ) को समी (ii ) से भाग देने पर ,
` (sin x + siny)/(cosx +cosy )= a/b `
` rArr tan (x+y)/2 = a/b " " ` . . . (iv)
अब , ` tan ^(2) ((x+y)/2) + tn^(2) ((x-y)/2)`
` = a^(2)/b^(2) + (1-cos(x-y))/(1+cos(x-y))`
` = a^(2)/b^(2) + (1- (a^(2)+b^(2)-2)/2)/(1+(a^(2)+b^(2)-2)/2)`
` = a^(2)/b^(2) + (4 -a^(2)-b^(2))/(a^(2)+b^(2))`
` = (a^(4) +a^(2)b^(2)+4b^(2)-a^(2)b^(2)-b^(4))/(a^(2)b^(2)+b^(4))`
` = (a^(4) - b^(4) +4b^(2))/(a^(2)b^(2)+b^(4))`