रेखा `bxcos alpha+aysin alphas=ab` पर बिंदुओं `(+-sqrt(a^(2)-b^(2)),0)` से खींचे जाने वाले लम्बों का गुणनफल क्या है?

Options

A. `a^(2)`
B. `b^(2)`
C. `a^(2)+b^(2)`
D. `a+b`

Answer

B

Explanation

दी गई रेखा का समीकरण
`bxcosalpha+aysinalpha=ab`
`:'` किसी बिंदु `(x_(1),y_(1))` से रेखा
`ax+by+c=0` की लाम्‍बिक दूरी
`|(ax_(1)+by_(1)+c)/(sqrt(a^(2)+b^(2)))|` होती है।
बिंदु `(sqrt(a^(2))-b^(2),0)` से रेखा की लाम्‍बिक दूरी `(d_(1))`
=|(bcos alpha sqrt(a^(2)-b^(2))+0-ab)/(sqrt(b^(2)cos^(2)alpha+a^(2)sin^(2)alpha))|
इसी प्रकार बिंदु `(-sqrt(a^(2)-b^(2)),0)` से रेखा की लाम्‍बिक दूरी `(d_(2))`
`=|(-bcos alpha sqrt(a^(2)-b^(2)+0-ab))/(sqrt(b^(2)cos^(2) alpha+a^(2)sin^(2)alpha))|`
अब `d_(1)xxd_(2)`
`|(bcos alpha sqrt(a^(2)-b^(2))-ab)|`
`=(|-(b cos alpha sqrt(a^(2)-b^(2))+ab)|)/(|(sqrt(b^(2)cos^(2)alpha+a^(2)sin^(2)alpha))(sqrt(b^(2)cos^(2)alpha+a^(2)sin^(2)alpha))|)`
`=|(b^(2)cos^(2)alpha(a^(2)-b^(2))-a^(2)b^(2))/(b^(2)cos^(2)alpha+a^(2)sin^(2)alpha)|`
`=|(a^(2)b^(2)cos^(2)alpha-b^(4)cos^(2)alpha-a^(2)b^(2))/(b^(2)cos^(2)alpha+a^(2)sin^(2)alpha)|`
`=|(a^(2)b^(2)(cos^(2)alpha-1)-b^(4)cos^(2)alpha)/(b^(2)cos^(2)alpha+a^(2)sin^(2)alpha)|`
`=(|-b^(2)[sin^(2)alpha+b^(2)cos^(2)alpha]|)/([b^(2)cos^(2)alpha+a^(2)sin^(2)alpha])`
`=-b^(2)=b^(2)`[ऋणात्मक चिन्ह छोड़ने पर]