निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिये ।
I. `int (e^(2x)-1)/(e^(2)x+1)dx` का मान `log(e^(2x-1))+C` होगा।
II. `int (1)/(e^(x)+e^(-x))dx` का मान `-(1)/(2(e^(2x)+1))+C` होगा।
III `int (e^(-x))/(1+e^(x))dx` का मान `log(e^(x)+1-x-e^(x))` होगा।
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/ है ?

Options

A. केवल I
B. I व II दोनों
C. II व III दोनों
D. I केवल

Explanation

`I.L= int (e^(2x)-1)/(e^(2x)+1)dx int(e^(x)-e^(-x))/(e^(x)+e^(-x))dx`
`=log(e^(x)+e^(-x))=log(e^(2x)+1)^(2)-x+C`
`II. I = int (1)/((e^(x)+e^(-x))^(2))dx=int (e^(2x))/((e^(2x)+1)^(2))dx`
मान लीजिये `e^(2x)+1=trArr 2e^(2x)dx=dt`
`:. I= (1)/(2) int (1)/(t^(2))dt=-(1)/(2)(1)/(t)+C`
`=-(1)/(2(e^(2x)+1))+C`
`III. I int (e^(-x))/(1+e^(x))dx=int (e^(-x)e^(-x))/(e^(-x)+1)dx`
मान लीजिये `e^(-x)+1-t rArr -e^(-x)dx=dt`
`rArr I=- int ((t-1))/(t)dt= int ((1)/(t)-1)dt`
`=log-tC_(1)`
`=log(e^(-x)+1)-(e^(-x)+1)+C_(1)`
`=log(e^(x+1)-x-e^(-x)-1+C_(1)`
`=log(e^(x)+1-x-e^(-x)+C`