यदि फलन `f''(x)=sec^(4)x+4` हैं , तथा `f(0)=0` और `f'(0)=0` है तब,
`f'(x)` किसके बराबर है ?

Options

A. `"tan"x- (tan^(3)x)/(3)+4x`
B. `"tan"x+(tan^(3)x)/(3)+4x`
C. `"tan"x+(sec^(3)x)/(3)+4x`
D. `"-tan"x-(tan^(3)x)/(3)+4x`

Answer

B

Explanation

दिया है, `f''(x)= sec^(4)x+4` पर `f(0)=0` तथा `f'(0)=0`
स्पष्ट है की `f'(x)= int f''(x)dx+C_(1)`
`= int (sec^(4)x+4)dx+C_(1)`
`= int sec^(4)x dx + int 4 dx+C_(1)`
`=int sec^(2)* sec^(2) x dx+4x +C_(1)`
`= int (1+ tan^(2)x)sec^(2) x dx+ 4x+C_(1)`
`= I_(1)+4x+C_(1)`
अब `I_(1)` में `tanx=1` रखने पर
`sec^(2)x dx=dt`
`:. I_(1)= int (1+t^(2))dt=t+(t^(3))/(3)+C`
`rArr I_(1)tan x+(tan^(3)x)/(3)+C'`
`:. f'(x)=tanx+1//3tan^(3)x+4x+C`
जहाँ `C=C_(1)+C' rArr f'(0)=0`
तब `C=0`
`:. f'(x) = tan x+ 1//3 tan^(3) x+4x`