प्रथम चतुर्थाश में वृत्त `x^(2)+y^(2)=4` रेखा `x=sqrt3y` एवं X -अक्ष द्रारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है

Options

A. 0 वर्ग इकाई
B. `(3pi)/(4)` वर्ग इकाई
C. `(pi)/(3)` वर्ग इकाई
D. `(pi)/(2)` वर्ग इकाई

Answer

C

Explanation

सर्वप्रथम प्रथम चतुर्थाश में `x=sqrt3y" तथा "x^(2)+y^(2)=4` का प्रतिच्छेदक बिन्दु ज्ञात करते है और तब अभीष्ट क्षेत्रफल को दर्शाने वाली आकृति खींचते है। अब, क्षेत्रफल को दो भागो में बाँटते है, एक प्रतिच्छेदक बिन्दु को बिन्दु (0,0) से जोड़ने वाला भाग तथा दूसरे वृत्त के अन्दर वाला भाग, तब अभीष्ट क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए अलग-अलग समाकलन करते है।

दिए गए वृत्त का समीकरण `x^(2)+y^(2)=4" तथा "x=sqrt3y" या "y=(1)/(sqrt3)x`
मुलबिन्दु से गुजरने वाली रेखा को निरूपित करती है। रेखा `y=(1)/(sqrt3)x``y=(1)/(sqrt3)x` वृत्त
को प्रतिच्छेद करती है। अतः वृत्त के समीकरण को सन्तुष्ट करेगी।
`:.x^(2)+[(1)/(sqrt3)x]^(2)=4" "implies(4)/(3)x^(2)=4`
`impliesx^(2)=(4xx3)/(4)=3impliesx=+-sqrt3`
जब `x=sqrt3`
तब `y=(1)/(sqrt3)sqrt3=1`
[प्रथम चतुर्थाश के लिए `x=sqrt3` लेने पर तथा `x=-sqrt3` को नगण्य करे ] अतः रेखा तथा वृत्त बिन्दु `A(sqrt3,1)` पर मिलते है।
अभीष्ट क्षेत्रफल (प्रथम चतुर्थाश में छायांकित क्षेत्र )
`=(x=0" से "x=sqrt3`
एक रेखा `y=(1)/(sqrt3)`
द्रारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल)
`+(x=sqrt3" से "x=2` तक वृत्त द्रारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल)
`=int_(0)^(sqrt3)(1)/(sqrt3)xdx+int_(sqrt3)^(2)sqrt(4-x^(2))dx`
`[:'x^(2)+y^(2)=4impliesy=sqrt(4-x^(2))]`
`=(1)/(sqrt3).[(x^(2))/(2)]_(0)^(sqrt3)+[(x)/(2)sqrt(4-x^(2))+(2^(2))/(2)sin^(-1)((x)/(2))]_(sqrt3)^(2)`
`=(1)/(2sqrt3)[(sqrt3)^(2)-0^(2)]`
`+[0+2sin^(-1)(1)-(sqrt3)/(2)sqrt(4-2)-2sin^(-1)((sqrt3)/(2))]`
`=(sqrt3)/(2)+2(pi)/(2)-(sqrt3)/(2)-2((pi)/(3))=pi-(2pi)/(3)=(pi)/(3)` वर्ग इकाई